Leetcode 2965.K个元素的最大和

题目描述

出处

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums 和一个整数 k 。你需要执行以下操作 恰好 k 次，最大化你的得分：

1. 从 nums 中选择一个元素 m 。
2. 将选中的元素 m 从数组中删除。
3. 将新元素 m + 1 添加到数组中。
4. 你的得分增加 m 。

请你返回执行以上操作恰好 k 次后的最大得分。

示例 1：
输入：nums = [1,2,3,4,5], k = 3
输出：18
解释：我们需要从 nums 中恰好选择 3 个元素并最大化得分。
第一次选择 5 。和为 5 ，nums = [1,2,3,4,6] 。
第二次选择 6 。和为 6 ，nums = [1,2,3,4,7] 。
第三次选择 7 。和为 5 + 6 + 7 = 18 ，nums = [1,2,3,4,8] 。
所以我们返回 18 。
18 是可以得到的最大答案。

示例 2：
输入：nums = [5,5,5], k = 2
输出：11
解释：我们需要从 nums 中恰好选择 2 个元素并最大化得分。
第一次选择 5 。和为 5 ，nums = [5,5,6] 。
第二次选择 6 。和为 6 ，nums = [5,5,7] 。
所以我们返回 11 。
11 是可以得到的最大答案。

提示：

• 1 <= nums.length <= 100
• 1 <= nums[i] <= 100
• 1 <= k <= 100

解题方法

暴力

直接按照题意模拟 找到nums_\max 并执行$k$次删除nums_\max并记录nums_\max的值

首先定义$ans$为答案 然后循环模拟

class Solution:
    def maximizeSum(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        ans = 0
        for i in range(k):
            o = max(nums)
            ans+=o
            nums.remove(o)
            nums.append(o+1)
        return ans

• $时间复杂度:O(k^{3})$
• $空间复杂度:O(1)$ 返回值不计入

数学

首先我们看回题意 可以得知 操作是 找到当前的$max$值 -> 记录 -> 删除 -> 添加$max+1$

那么下一次添加的值不就是上一个$max$值的$max+1$

因此我们设当前$max$值为$i$ 即nums_\max=i

• 操作第$1$次 为$i$
• 操作第$2$次 为$i+(i+1)$
• 操作第$3$次 为$i+(i+1)+(i+1+1)=i+(i+1)+(i+2)$
• 操作第$4$次 为$i+(i+1)+(i+1+1)+(i+1+1+1)=i+(i+1)+(i+2)+(i+3)$

不难发现 这是一道规律题 得公式

$$i*k+0+1+2+3...+(i-1)$$

问题来了$0+1+2+3...+(i-1)$如何算呢 我这里就拿$k=4$来举例，即$1+2+3+4$ 设$x$为数组的左边界 $y$为数组的右边界 即$nums[x]+nums[y]=nums[x+1]+nums[y-1]$

相当于数组的左右两边和是一样的 这样的和可以分为$k//2$组

因此继续推理得到

$$i*k+(k-1)*(k//2)$$

当$k$是奇数的时候 也是按同样的道理 加上它中间哪个数

$$i*k+(k-1)*(k//2)+(k//2)$$

最后 得出结论

$$ans=\begin{cases} i*k+(k-1)*(k//2) & k/2=0 \\ i*k+(k-1)*(k//2)+(k//2) & k/2!=0\end{cases}$$

示例代码

Python

## 时间复杂度O(n)
## 空间复杂度O(1)
class Solution:
    def maximizeSum(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        a = max(nums)
        if k % 2 == 0:
            return a*k + (k-1) * (k//2)
        else:
            return a*k + (k-1) * (k//2) + (k//2) 

C++

// 时间复杂度O(n)
// 空间复杂度O(1)
class Solution {
public:
    int maximizeSum(vector<int>& nums, int k) {
        int ans = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++){
            ans = max(ans,nums[i]);
        }
        if(k % 2 == 0){
            return ans * k + (k-1) * (k/2);
        }
        return ans * k + (k - 1) * (k/2)+(k/2);
    }
};